Иоганн Кеплер более всего известен как астроном, однако астрономия немыслима без математики,
и Кеплер-математик ничуть не уступал Кеплеру-астроному. С его именем связана немного курьёзная
история, которую сам он рассказал следующим образом:
Я ввёл в свой дом новую супругу [осенью 1613 года — М.Б.] в то время, когда Австрия,
закончив обильный сбор благородного винограда, распределяла свои богатства,
разослав вверх по Дунаю нагруженные баржи, в нашем Норике и весь берег в Линце был
завален винными бочками, продающимися по сходной цене. Согласно обязанностям
супруга и отца семейства, мне пришлось позаботиться о необходимом для дома
напитке. Потому ко мне на дом было принесено и поставлено несколько бочек, а через
четыре дня пришёл продавец с измерительной линейкой, с помощью которой и
промерил подряд все кадки, без различия, не обращая внимания на форму, без всяких
соображений и вычислений. Именно, медный оконечник линейки просовывался через
наливное отверстие полной бочки поперёк до пятки того и другого деревянного круга,
которые мы по-домашнему называем днищами, и после того, как в обоих случаях эта
длина от верхней точки пуза до нижней того и другого дощатого круга оказывалась
равной, продавец объявлял количество амфор, вмещаемых бочкой, заметив число,
поставленное на линейке в том месте, на котором оканчивалась названная длина; по
этому числу называлась величина цены.
Я удивился, как это поперечная линия, проведённая через объём половины бочки,
может служить указателем вместимости, и даже усомнился в правильности такого
измерения, так как очень короткая, а потому и мало вместительная бочка,
заключённая между кругами, лишь бы они были несколько пошире, может иметь такую
же длину от отверстия до нижней точки того и другого круга. (...)
Когда же я узнал, что такое употребление поперечной линейки установлено здесь
общественными властями и измерители ручаются за его правильность, то я... счёл
для себя подходящим взять новый предмет математических занятий и исследовать
геометрические законы такого удобного и крайне необходимого в домашнем хозяйстве
измерения и выяснить его основания, если таковые имеются
https://www.balandin.guru/index_html_files/kepler.pdf Кеплера ввело в недоумение то, что объём цилиндрического сосуда вообще-то требует как
минимум двух измерений — высоты и радиуса либо диаметра, — да ещё нужно как-то учитывать
кривизну стенок, но он быстро понял, что подобная методика основана на каких-то пропорциях бочки,
позволяющих обойтись только одним промером, и мало влияющих на результат при погрешностях
изготовления.
Оказалось, что тогдашние австрийские мастера изготовляли бочки, у которых высота примерно
втрое превосходила радиус — или, что то же самое, в полтора раза превышала диаметр. Кеплер
обнаружил, что эта пропорция выбрана не случайно: если зафиксировать значение описанного выше
промера, то при таком соотношении «высота/радиус» объём бочки будет близок к максимально
возможному! Вот как это открытие было им описано в книге с замысловатым названием «НОВАЯ
СТЕРЕОМЕТРИЯ ВИННЫХ БОЧЕК преимущественно австрийских, как имеющих самую выгодную форму
и исключительно удобное употребление для них кубической линейки, с присоединением дополнения к
архимедовой стереометрии»:
Ясно, что австрийские бочары как бы по здравому и геометрическому смыслу при
построении бочки соблюдают правило, чтобы за радиус днища брать треть длины
клёпок1. Именно, при таком устройстве цилиндр, мысленно построенный между двумя
днищами, будет... самым вместительным, хотя бы при постройке бочки от точных
правил несколько и отступили, потому что... по обе стороны от места наибольшего
значения убывание вначале нечувствительно.
Получить этот результат Кеплеру было нелегко. Во-первых, в начале XVII века в Европе ещё не
получило распространения искусство алгебраических преобразований, основанных на буквенных
обозначениях и формальных операциях с ними (более или менее современный вид они обрели только в
середине века). Теми зачатками алгебры, которые уже успели сформироваться, Кеплер не пользовался:
отсутствие единых обозначений приводило к тому, что пояснения к выкладкам часто занимали больше
места, чем сами выкладки. Во-вторых, не было ещё аппарата дифференциального и интегрального
исчисления, неимоверно облегчающего исследование функций — более того, работы Кеплера как раз и
послужили одной из предпосылок их появления!
В современной литературе по занимательной математике вопрос об измерении бочек освещается
достаточно часто, но практически всегда однобоко: он либо кратко упоминается как голый факт
истории, либо рассказывается непосредственно «по Кеплеру» (а это длиннейшая и сложнейшая
цепочка рассуждений, способная отбить интерес у любого неискушённого читателя), либо подаётся как
«мостик» при переходе к изложению понятия производной — да нередко ещё и с ошибками.
Мы проследим полный ход решения этой старинной задачи средствами современной математики,
причём для этого вполне достаточно будет знаний в объёме школьной программы десяти классов.